第48回統計科学セミナー(2026年11月17日開催)「Likelihood Singularity(最尤推定の特異点)」のご案内

講演概要：

Maximum likelihood estimation is the problem of maximizing a likelihood function. In this talk, I will focus on the maximum likelihood degree (ML degree), one of the geometric invariants determined by maximum likelihood estimation. For smooth statistical models, the ML degree is known to coincide with a topological invariant called the Euler characteristic (June Huh, 2013). When considering a family of statistical models, the ML degree varies. This variation yields the singular locus of a function defined by a certain integral. This integral is called the marginal likelihood integral in statistics, the Feynman integral in physics, and the twisted period integral in mathematics. Geometrically, the singular locus is the shadow of a higher geometric invariant known as the characteristic cycle. The speaker named this characteristic cycle the hypergeometric discriminant. The hypergeometric discriminant is once again computed via maximum likelihood estimation, bringing the story full circle. The talk will focus on the motivation and background, while also touching upon open problems.

最尤推定とは，尤度函数の最大化問題である．講演では，最尤推定から定まる幾何学的不変量の一つである最尤推定次数に注目する．滑らかな統計モデルに対しては，最尤推定次数はEuler標数と呼ばれる位相幾何学的不変量と一致することが知られている（June Huh, 2013)．統計モデルの族を考えると，最尤推定次数は変動する．この変動は，ある積分で定義される函数の特異点集合を与える．この積分は，統計では周辺尤度積分と呼ばれ，物理ではFeynman積分と呼ばれ，数学ではねじれ周期積分と呼ばれている．幾何学的には，特異点集合は特性サイクルと呼ばれる高次の幾何学的不変量の影である．講演者はこの特性サイクルを超幾何判別式と名付けた．超幾何判別式は再び最尤推定によって計算され，話はひとまず大団円となる．講演は動機と背景を中心に行い，残された課題や謎についても触れたい．